复数

关于复数的一些常用知识和运算法则

定义与表示

首先令\(i^2=-1\)

复数是指能写成\(a+bi\)的数，其中\(a\)是实部，\(b\)是虚部，\(i\)为虚数单位。

四则运算

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

\[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\]

\[(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i\]

运算律

满足加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律

复数与向量

可以将复数看成平面坐标系中以原点为起点的向量\((a,b)\)。其中\(x\)轴称为实轴，\(y\)轴称为虚轴

复数的模

复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称作该复数的模。

即对于复数\(z=a+bi\)，它的模

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}\]

复数的幅角

在复数\(z\neq 0\)的情况下,以正实轴为始边,表示\(z\)的向量为终边的角\(\theta\)称为\(z\)的幅角,记做\(Argz=\theta\)

说明 任何一个复数\(z\neq 0\)都有无穷多个幅角。如果\(\theta_1\)是其中的一个幅角，那么\(z\)的全部幅角可以表示为

\[ Argz=\theta_1+2k\pi \]

特殊地，当\(z=0\)时，幅角不确定

幅角主值 在\(z(\neq 0)\)的幅角中，把满足\(-\pi<\theta_0<\pi\)的\(\theta_0\)叫做\(Argz\)的主值,记做\(\theta_0=argz\)

欧拉公式

\[ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\]

当\(\theta=\pi\)时，有欧拉公式的特殊形式\(e^{i\pi}+1=0\)

复数的三角表达与指数表达

利用直角坐标与极坐标的关系\(\begin{cases} x=rcos\theta \\ y = rsin\theta \end{cases}\)，复数可以表示为\(z=r(cos\theta+isin\theta)\)。再利用欧拉公式,复数可以表示成\(z=re^{i\theta}\)

共轭复数

两个实部相等，虚部互为相反数的复数叫做共轭复数

性质

\[|x+yi|=|x-yi| \]

\[(x+yi)·(x-yi)=x^2+y^2\]

转载自gaotianyu1350